Свойства векторного произведения. Векторное и смешанное произведения в координатах

1) $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$ 2) $(t\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (t\vec{b}) = t(\vec{a} \times \vec{b})$ 3) $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$ 4) $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Если $\vec{a} \parallel \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a} = \vec{0}$ Пусть $\vec{a} \nparallel \vec{b}$. Так как $\sin(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = \sin(\angle{(\vec{b}, \vec{a})})$: $$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\angle{(\vec{a}, \vec{b})}) = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \sin(\angle{(\vec{b}, \vec{a})}) = |\vec{b} \times \vec{a}|$$ $\vec{a} \times \vec{b}$ и $\vec{b} \times \vec{a}$ ортогональны $\vec{a}$ и $\vec{b}$, значит $\vec{a} \times \vec{b} \parallel \vec{b} \times \vec{a}$. $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b})$ - правая, $(\vec{b}, \vec{a}, \vec{a} \times \vec{b})$ - левая, $(\vec{b}, \vec{a}, \vec{b} \times \vec{a})$ - правая, а значит $\vec{a} \times \vec{b} \uparrow\downarrow \vec{b} \times \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} ~~~\square$

По определению: $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{0}$ Тогда: $$\vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} = \vec{0} \Rightarrow \vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b} ~~~\square$$

Пусть $\vec{x}$ - произвольный вектор. По 2) свойству смешанного произведения и свойствам скалярного, имеем: $$((t\vec{a}) \times \vec{b})\vec{x} = (t\vec{a})\vec{b}\vec{x} = t \cdot \vec{a}\vec{b}\vec{x} = t \cdot ((\vec{a} \times \vec{b}) \vec{x}) = (t(\vec{a} \times \vec{b}))\vec{x}$$ Получаем $((t\vec{a}) \times \vec{b})\vec{x} = (t(\vec{a} \times \vec{b}))\vec{x}$, а значит по ослабленному закону скалярного умножения: $(t\vec{a}) \times \vec{b} = t(\vec{a} \times \vec{b})$ Аналогично проверяется, что $\vec{a} \times (t\vec{b}) = t(\vec{a} \times \vec{b}) ~~~\square$

Пусть $\vec{x}$ - произвольный вектор. По 3) свойству смешанного произведения и свойствам скалярного, имеем: $$((\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c})\vec{x} = (\vec{a} + \vec{b})\vec{c}\vec{x} = \vec{a}\vec{c}\vec{x} + \vec{b}\vec{c}\vec{x} = (\vec{a} \times \vec{c})\vec{x} + (\vec{b} \times \vec{c})\vec{x} = (\vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c})\vec{x}$$ Используя ослабленный закон сокращения, получаем: $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} ~~~\square$

Следует из 1) и 3): $$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = -(\vec{b} + \vec{c}) \times \vec{a} = -(\vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}) = -(\vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} ~~~\square$$

В произвольном базисе $(\vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}})$: $$\begin{matrix} \vec{x}\vec{y}\vec{z} = (x_{1}\vec{b_{1}} + x_{2}\vec{b_{2}} + x_{3}\vec{b_{3}})(y_{1}\vec{b_{1}} + y_{2}\vec{b_{2}} + y_{3}\vec{b_{3}})(z_{1}\vec{b_{1}} + z_{2}\vec{b_{2}} + z_{3}\vec{b_{3}}) = \\ = (x_{1}y_{2}z_{3} + x_{2}y_{3}z_{1} + x_{3}y_{1}z_{2} - x_{1}y_{3}z_{2} - x_{2}y_{1}z_{3} - x_{3}y_{2}z_{1}) \cdot \vec{b_{1}}\vec{b_{2}}\vec{b_{3}} \end{matrix}$$ $$\vec{x}\vec{y}\vec{z} = \begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix} \cdot \vec{b_{1}}\vec{b_{2}}\vec{b_{3}}$$ В правом ортонормированном базисе: $$\vec{x}\vec{y}\vec{z} = \begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix}$$

1) $\vec{a}\vec{b}\vec{c} = \vec{b}\vec{c}\vec{a} = \vec{c}\vec{a}\vec{b} = -\vec{a}\vec{c}\vec{b} = -\vec{c}\vec{b}\vec{a} = -\vec{b}\vec{a}\vec{c}$ 2) $(t\vec{a})\vec{b}\vec{c} = \vec{a}(t\vec{b})\vec{c} = \vec{a}\vec{b}(t\vec{c}) = t(\vec{a}\vec{b}\vec{c})$ 3) $(\vec{a} + \vec{b})\vec{c}\vec{d} = \vec{a}\vec{c}\vec{d} + \vec{b}\vec{c}\vec{d}$ 4) $\vec{a}(\vec{b} + \vec{c})\vec{d} = \vec{a}\vec{b}\vec{d} + \vec{a}\vec{c}\vec{d}$ 5) $\vec{a}\vec{b}(\vec{c} + \vec{d}) = \vec{a}\vec{b}\vec{c} + \vec{a}\vec{b}\vec{d}$

1) Через геометрический смысл смешанного произведения 2) Через свойства скалярного произведения и 1) 3) Через 1) и 5) 4) Через 1) и 5) 5) Через свойства скалярного произведения